Les chaînes de Markov
Un état tout sauf absorbant

Vous avez peut-être déjà entendu parler des chaînes de Markov. C'est bien.

Alors bon, les chaînes de Markov, à quoi ça sert ? [2] Ca peut servir à plein de choses. Mais vraiment plein. En gros, c'est le processus qui est utilisé pour gérer les caisses ouvertes ou non, en fonction du monde, le samedi après-midi au supermarché. Oui, bah alors je vais peut-être re-expliquer alors.

Plus concretement, les chaînes de Markov permettent de dire que quand je suis dans la salle à manger, je peux aller aussi bien dans le couloir que dans la cuisine parce que ces deux pièces sont collées à la salle à manger, et que le fait d'être passé un quart d'heure avant dans la chambre n'y change que dale. Alors là vous allez me dire que c'est pas super logique. Eh bah pas con. C'est vrai que Markov, il avait pas trop pensé que si on fait 14 fois l'aller-retour cuisine-salle à manger, c'est soit qu'on a une grande table, soit qu'on fait vraiment pas gaffe à ce qu'on fait [3].

En effet, pour Markov, les états précédents n'influent pas sur le futur immédiat. Donc, on a beau revenir de la cuisine, on a encore la même probabilité qu'avant d'y retourner. Mais moi, je suis pas con ! Si je fais 14 fois l'aller-retour cuisine-salle à manger, je me fais fabriquer un passe-plat.

Si Markov avait occulté le passe-plat, il avait quand même prévu pas mal de trucs [4]. Grâce à pas mal de calculs savants [5], on peut determiner la probabilité d'être dans une certaine pièce dans 4 coups alors qu'on est dans une certaine pièce. Bon, je vois que c'est pas super clair.

En gros, Markov permet de savoir quelle chance on a d'être dans 4 coups dans la chambre alors qu'on est dans la cuisine. Alors bien sûr, il faut connaître pour chaque pièce la probabilité de passer dans une pièce voisine (oui, on ne peut pas passer dans une pièce qui ne touche pas la nôtre, Markov est assez strict là-dessus), voire de rester dans la nôtre. Il va de soi que j'ai pris l'exemple d'une maison, donc on peut rester d'un instant T à une instant T+1 dans la même pièce. Il existe des schémas schémii où on n'a pas le droit de rester dans la même pièce à deux instants consécutifs, ouh que non, et dans ces cas-là, autant être dans une forme olympique [5].

Il s'agit bien entendu d'une modélisation, qui permet d'avoir des résultats assez corrects. Mais il évident que dans le cas de notre maison, les probabilités de passer de la chambre aux toilettes en très peu d'instants seront augmentées les lendemains de fête [6].

Bon, bah on s'accroche là, j'en vois dormir au fond. Nous allons voir les quelques notions de base, j'allais pas non plus vous balancer tout le cours. Déjà, vous devez savoir que chaque pièce de notre exemple est appellé état. Donc la cuisine est un état, la chambre aussi. L'Alaska aussi, mais bon je vois pas le rapport [7]. Je rappelle que nous sommes là dans un cas bien précis, inutile de dire que les chaînes de Markov ne s'appliquent pas que dans les maisons [8]. Il y a quelques termes classieux à savoir pour les états [9].

Un état récurrent est un état dans lequel on revient presque surement. En gros, avec les probabilités que vous avez, vous êtes certain qu'un jour où l'autre vous repasserez par cette pièce. Il est évident que dans notre exemple, la cuisine est un état récurrent, tout près de l'évier d'ailleurs.

Un état est absorbant si quand on y rentre, on ne peut plus en sortir. Dans notre exemple, il n'y a pas d'état récurrent, sauf si on considère que votre maison est une chambre Universitaire (en partant du principe que vous faites votre vie entière dans votre maison). Il n'y pas non plus d'état absorbant les lendemains de fête, je vous vois venir.

Un état est transitoire s'il n'est pas récurrent, c'est-à-dire qu'on y passe mais c'est pas sur qu'on y revienne. Il est possible que chez certains d'entre vous, le cagibi soit un endroit si sale qu'on ne veut plus y remettre les pieds.

Des états accesibles sont des états qui sont tels qu'on peut aller de l'un à l'autre entre deux instants successifs. Par exemple, si les toilettes et la cuisine sont des états communicants (c'est la même chose mais dans le cas où on peut aller dans les deux sens) chez vous, c'est que votre baraque est mal foutue.

Enfin, un état périodique est un état dans lequel on revient après un même nombre d'instants, à chaque fois. Classiquement, chez les filles, l'état nerveux du style je suis enervée raaaahhh fait chier revient périodiquement.


Ce qu'il faut savoir, c'est que passé ces états de base, Markov permet d'apporter pas mal de réponses précises, plus précises que moi en tout cas. En effet, on peut symboliser les files d'attentes avec ce principe. Eh oui ! C'est dingue. Il est même possible de dissocier différentes files d'attentes : avec arrivée aléatoire, avec un nombre de serveurs (de caissiers, si vous voulez) précis, un style de passage précis (le premier arrivé est servi ou bien celui qui a le plus gros biceps), le type de service (s'il y en a qui sont favorisés parce qu'ils ont des plus gros caddies)...

Avec ces modélisations, il est possible, à l'aide de la durée de service moyenne (comme la rapidité de la caissière l'hôtesse de caisse) et le nombre de clients moyen pour une durée donnée, de dire le temps moyen d'attente, la durée qu'il va passer à la caisse... Ce principe est donc assez fabuleux, on aurait mal imaginé que savoir si on était dans la cuisine ou non nous amenerait à de tels résultats.

Sur un exemple particulier, prenons un coiffeur : on sait qu'il met tant de temps à coiffer, en moyenne, un client. On sait qu'il a en moyenne tant de clients qui arrivent par heure. Et bien on peut savoir combien de temps le client va attendre, combien de temps il va rester avec le coiffeur, la chance qu'il a d'être coiffé dès son arrivée, le nombre moyen de clients en attente, la coupe demandée, les livres qu'il va lire, s'il est auburn ou pas ou encore ce qu'il a mangé au petit déjeuner.

Notons quand même les limites de ce processus, puisque si on peut calculer le nombre moyen de clients en attente chez le coiffeur, la calculatrice sature lorsqu'on transpose cet exemple chez un medecin.

Les chaînes de Markov permettent de réaliser pas mal de cacluls, mais on a peine à penser qu'on s'en serve vraiment à Cora un samedi après-midi. En effet, Markov n'avait pas pris en compte les RTT. En définitive, si Markov permet de prévoir de nombreuses situations [10], il faut bien penser à adapter les processus à la réalité. Hein.
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